Sınırları Aşmak, J. R. Cash adlı genç bir gitaristin Memphis’e gelip şöhret aramasını ve müzik dünyasında yolunu bulmaya çalışmasını anlatıyor. 1955’te Sun Stüdyoları’na gider, derin sesiyle dikkat çeker ve kısa sürede çevresindekilerin ilgisini toplar. Joaquin Phoenix’in oynadığı John R. Cash, sahnede adını duyurmaya çalışırken evliliğinde sorunlar yaşar, ailesiyle ilişkisi de giderek zorlaşır. Ray Cash, Vivian Cash ve Sam Phillips çevresinde kurulan hayatı, onu hem başarıya hem de büyük baskılara taşır. June Carter ile yakınlaşması ise onun yolunu değiştirir. Cash, sahnede Siyah Giyinen Adam olarak tanınır ve aşk, şöhret, kayıp ve direnç arasında kendi çizgisini arar.