Uzay Maymunları'te, NASA’nın uzay programında Ham III adlı genç bir maymun, büyükbabasının izinden giderek tehlikeli bir göreve seçilir. Luna ve Titan ile birlikte uzak bir gezegene gönderilir. Görev sırasında ekip, orada hüküm süren Zartog’un baskısıyla karşılaşır. Ham III, ilk başta kendine güvenmez, ama yolculuk ilerledikçe sorumluluk almaya başlar. Ekip, uzay gemisini çalıştırmak, yabancı ortamda hayatta kalmak ve Zartog’un planlarını bozmak için birlikte hareket eder. Ham III, cesaretini toplar, Luna ve Titan da ona destek verir. Karşılarına çıkan engeller büyürken, görevleri sadece kendi hayatlarını değil, gezegenin geleceğini de etkiler.